El problema de Apolonio: tres circunferencias

A continuación se explica el procedimiento de la animación anterior.

Consideramos el interesante caso de las tres circunferencias.
Normalmente, según la posición relativa de las tres circunferencias, podemos encontrar hasta ocho soluciones.
La siguiente figura muestra el caso de haber obtenido estas ocho soluciones.
Cada color muestra dos soluciones, cada par de soluciones destaca las dos circunferencias que se han obtenido de la misma forma. Así se favorece la visualización del problema.

¿Cómo se han obtenido estas soluciones?

Primero, calculamos los seis centros de homotecia ,de los cuales tres son internos y tres externos, de los tres círculos. Estos seis puntos resultan estar en cuatro rectas. Tomamos una de estas rectas y hallamos el polo respecto de cada una de las tres circunferencias. Unimos el centro radical de las circunferencias con los tres polos y obtenemos los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con las circunferencias dadas. Ahora se elige convenientemente entre los seis puntos de tangencia encontrados para trazar dos circunferencias tangentes. Este mismo procesos se repite con las otras tres rectas determinadas por los centros de homotecia y obtenemos las ocho soluciones al problema de Apolonio.

Si los círculos de partida son tangentes las circunferencias solución serán dos en vez de ocho y son las llamadas circunferencias de Soddy.

Bibliografía: http://garciacapitan.auna.com/bella/htm/apolonio.htm